制御装置が比例制御でない場合の根軌跡

概要

制御の勉強で１個疑問が解けたので記しておきます。

厳密でない点などあるかもしれませんが、そこは目をつぶって書いていきます。

基本的なことは分かっている前提で、さらっと説明します。

図のようなフィードバック回路を考えます。rが入力、yが出力で、制御対象G(s)をフィードバックゲインKを操作して制御します。

このとき、システムの安定性は閉ループの伝達関数の特性方程式を調べることでわかります。

一巡伝達関数は上の式になるので、特性方程式は $1+K(s)G(s)H(s)=0$ となります。
この特性根、つまり一巡伝達関数の極が全て負であればシステムが安定です。

そして、この特性根がフィードバックゲインKの値の変化によってどのように移動するかを複素平面上の軌跡として表したものが、根軌跡です。
$K>0$ で動かします。

根軌跡を書く１番直感的な方法は、特性方程式を解いて $s$ をパラメータ $K$ を用いて表すことかと思います。

しかし、特性方程式が $s$ の高次式だと解析解を求めるのは難しかったり、複雑だったりして大変です。
そこで存在するのが根軌跡法です。

これは、根軌跡についての性質をまとめたルールブックのようなもので、図１の一巡伝達関数が

という形で表されるとき（既約とする）、

根軌跡は実軸対象である
根軌跡は、一巡伝達関数n個の極をスタートし、m個は零点に収束し、残りは発散する
実軸上の根軌跡は、零点と極で区切られる範囲のうち右から奇数番目の部分になる
発散する根軌跡は、 $\dfrac{1}{n-m} \left(\displaystyle\sum_i ^n p_i - \sum_j ^m z_j\right)$ を通り、 $\dfrac{N\pi}{n-m} (N=\pm 1, \pm 3 \cdots)$ の傾きの直線に漸近する
実軸上で根が分裂する点は、 $\displaystyle\sum_i ^n \dfrac{1}{s-p_i} = \sum_j ^m \dfrac{1}{s-z_j}$ を満たす。